método monte carlo

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Que es el método monte carlo?

es un método numérico  para calcular el precio de una opción , o en general la esperanza (por ejemplo en el calculo de CVA).
consiste en generar muchas escenarios posibles y calcular el valor buscado como la media

ejemplo – opción call

suponemos dinámica Black-Scholes (log-normal) de la acción subyacente S, con tipo de interes 0:
\(dS=S \sigma dW_t \)
dWt es una gaussiana estándar

1) discretizamos la ecuación con un solo paso temporal:
\( S_1=S_0+S_0\sigma\epsilon \)
donde
\(\epsilon\) es una gaussiana estándar

2) generamos N numeros aleatorios gaussianos \( \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,..\epsilon_N \)
3) calculamos \(S_1\) para cada \(\epsilon\)
asi tenemos \( S_1(\epsilon_1) , S_1(\epsilon_2) ,.., S_1(\epsilon_N) \)
4) calculamos payoff de la opcion para cada Si
payoff de call es \( (S_1(\epsilon_1)-K)^+ \)
5) calculamos la prima de la opción como la media de estos payoffs

si tipos de interés no son 0 habrá que cambiar la dinámica de S y descontar los payoffs a tipo correspondiente

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opción call

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que es una opción call?

es una opción que da derecho (= opción ) al comprador  de comprar una acción (o indice) al precio determinado  llamado strike

ejemplo de una opcion call

la empresa A compra al banco B una call europea sobre  accion de Santander con strike 10 , y maturity =1 enero 2015

esto significa que si el 1 de enero 2015 si SAN (=accion de santander) cotiza a 12 euros , A comprara al B acciones de SAN a 10 euros , realizando plusvalias de 2 euros por opcion

si SAN cotizara a menos de 10 euro , entonces a A no le conviene hacer la compra ya que perdería dinero

Payoff

Valoración Black-Scholes

la opción europea se puede valorar según la formula de Black Scholes

explicación de la formula de Black – Scholes

el payoff se puede escribir en forma \( (S-K)^+ \) el ‘+’ significa que si la expresión que esta dentro es negativa la función valdrá cero

lo que dice la formula de Black Scholes es que el precio de la call es una aproximación a su payoff  y vale
\( Call=S*Proba1-FactorDescuento*K*Proba2 \)
donde Proba1 es una probabilidad que S superara K al tiempo T y Proba2 es lo mismo pero «en otra medida de probabilidad» (lo que hace que hay una diferencia pequeña entre Proba1 y Proba2)

 

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Derivados financieros

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Que es un derivado financiero?

básicamente es un contrato cuyo precio se basa en el precio de otro activo financiero

ejemplo de un derivado financiero

la empresa A contrata un derivado financiero al banco B según cual  B pagara a la empresa 1 millón de euros si indice Ibex 35 supera 20000 puntos (derivado OTC llamado call digital)

Tipos de derivados

hay derivados que se puede comprar en los mercados organizados y hay otros,

derivados OTC (over the counter) – derivados financieros negociados en privado.

derivados financieros se puede clasificar según tipo de subyacente:

derivados financieros de tipos de interes

ejemplo: derivados financieros cuyos pagos están indexados según Euribor , por ejemplo swaps (IRS Interest rate swap)

derivados FX

ejemplo: derivados financieros que dependen del tipo de cambio EUR USD

derivados de renta variable (Equity)

ejemplo: derivados que dependen de evolución de acción de Santander

derivados de crédito

ejemplo: A paga  a B 1 millón si quiebra la empresa C

derivados financieros de materias primas

A paga a B la diferencia entre precio del crudo Brent contra precio del crudo Ural

otra clasificacion posible de derivados financieros segun tipo de ejercicio:

Ejercicio americano

la opción se puede ejecutar en cualquier momento

Ejercicio europeo

la opción solo se puede ejecutar cuando se acaba el contrato

Ejercicio bermudan

opción se puede ejecutar en varias fechas

 mercado de derivados

el mercado de derivados OTC es enorme: el nocional total outstanding a finales de  2011 es 10 veces superior al PIB mundial (700 billones dolares)

 

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formula ajuste quanto (quanto adjustment)

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Que es ajuste quanto?

es un ajuste al forward del subyacente si la moneda del payoff es diferente a la del subyacente

ejemplo

si la moneda del payout es EUR y el subyacente de la opción es USD (por ejemplo DowJones index)
entonces necesitamos de ajustar el dividend  yield de Dow Jones según esta formula:
FX=EURUSD   (numeraire USD)
S= DJ index (USD)
\( q=q-\rho\sigma_{FX}\sigma_{S} \)
rho es la correlación entre tipo FX y Dow Jones

 

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Como valorar EONIA swap

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Que es el swap EONIA swap (call money swap)?

es un swap donde se intercambia un tipo fijo por un tipo variable calculado a base de tipo Eonia (Euro OverNight Index Average)

las liquidaciones se basan en el tipo promedio de EONIA correspondiente al invertir el nominal al tipo EONIA y reinverir los dividendos

Como se valora?

para un swap Eonia – Fixed el tipo de liquidacion variable se calcula  como:

$$ r_{efectivo}=\frac{1}{\delta_{periodBegin->periodEnd} } (\prod_{i=1}^{N} [1+\delta_{i->i+1}r_{i} ] – 1 ) $$

como consecuencia para valorar la pata flotante hacen falta los fixings de Eonia desde el inicio del periodo hasta la fecha de valoración

fracción del año esta en base de Actual/360

para los fixings en futuro en vez de calcular forwards a 1 dia para cada dia del periodo se puede calcular

$$ r_{efectivo}=\frac{1}{\delta_{periodBegin->periodEnd}} (\frac{df_{periodBegin}}{df_{periodEnd}}-1) $$

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como valorar plan de stock options

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Que es un plan de stock options?

es un tipo de remuneración de directivos  que consiste en dar a los empleados un numero de stock-options que se pueden ejecutar solo a partir de un periodo (llamado vesting period), generalmente unos años

como se valora?

dependiendo del tipo de plan se valora generalmente como una opción call americana .La formula de Black -Scholes no es aplicable aquí ya que es valida solo para opciones europeas (=ejecutables solo al maturity).

para el calculo se puede utilizar métodos numéricos , como arboles binarios , o métodos aproximativos (formula de Barone-Adesi and Whaley, como ejemplo).

El vesting period dura generalmente varios años. Generalmente la valoración de las opciones no depende de este periodo, visto que normalmente en los contratos de stock options hay unas cláusulas adicionales poco probables (como resignación del empleado por ejemplo) que si permiten la execución de las opciones. estos casos poco probables hay que cubrir también así que la opción americana parece la mejor aproximación para la valoración.
si , por ejemplo, vesting period es igual a 3 años. el precio de las opciones se divide entre 3 y se reparte contablemente entre la fecha de concesión y fecha del vesting.

calculadora de planes de stock options

 

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test de efectividad de coberturas

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Que es el test de efectividad de coberturas?

es un test numérico que permite saber si la cobertura cubre en efecto  el préstamo subyacente.en caso que la cobertura sea efectiva la empresa puede aplicar el llamado «hedge accounting» pudiendo no aplicar la variación del valor del derivado a la cuenta de resultados, evitando así su volatilidad.

ejemplo

la empresa  tiene contratado un préstamo a 10 años de 1000000 euros con el banco a tipo variable (Euribor 3 meses por ejemplo).

Se cubre con un swap a tipo fijo- tipo variable a 2%.suponemos que las fechas de swap coinciden con las del préstamo.

el test de efectividad consistiría en dos partes:

1) test retrospectivo

en este test se calcula el ratio (dollar offset) entre cambio de valor del derivado hipotetico (cobertura ideal) y el instrumento de cobertura contratado

si R(t) es el valor razonable del derivado real (contratado) en tiempo t
y H(t) es el valor razonable del derivado hipotético en tiempo t
y T – fecha de valoración para el test de eficacia de cobertura y t tiempo de inicio de cobertura
entonces la formula para el dollar offset D es:

$$R=\frac{R(T)-R(t)}{H(T)-H(t)}$$
este valor tiene ser entre 80% y 125%

2) test prospectivo

este test mesura la correlacion estadistica (mediante estadistica R sqaured) y el slope.
Se hace cambiando la curva de tipos actual y calculando el ratio para cada escenario.

en este test de efectividad prospectivo tomaremos la curva a fecha de valoración y la movemos 1% arriba , recalculamos el cambio de valor para el derivado real y hipotetico, obteniendo así varios puntos .Luego pasamos estos puntos como entrada en la función de Excel RSQR y SLOPE lo que nos dara las estadisticas para este test.

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Interest Rate Swap – permuta de tipos de interés

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Que es un interest rate swap?

un swap es un contrato de intercambio de flujos variables por flujos fijos.

ejemplo

empresa A entra en un swap de tipos de interés con el banco B a tipo fijo del 1% contra Euribor 12 meses .el tradedate del contrato es el 1 de enero 2012 y la maturity es 1 de enero de 2017. el nocional es de 1 millón de euros

esto significa que A paga al B el 1 de enero cada año  hasta 1 de enero de 2017   10000 euros (1% sobre 1 millón)

y en la misma fecha B paga a A Euribor 12 meses (fijado 1 año  antes) multiplicado por 1 millón

Para que sirve un swap?

si A tiene un préstamo a tipo variable (normalmente indexado sobre euribor) y  piensa que los tipos de interés pueden subir al futuro le conviene contratar un swap. así A convierte este préstamo variable en préstamo a tipo  fijo y evita la subida de tipos de interés.

 

Como se valora un interest rate swap?

ejemplo 1

un swap donde A paga fijo 1% el B paga Euribor 12 meses el swap es a 2 años. contratado el 1 de enero 2012. nocional 100 euros.

fecha valoración: 1 enero 2012

en total hay dos flujos en este swap : 1 de enero 2013 y 1 de enero de 2014

primero vamos  a valorar pata flotante (indexada con euribor)

NPV flotante = Euribor 12m (1 de enero 2012)* factor descuento (2 de enero 2013)+Euribor 12 m (1 de enero 2013)*factor descuento (1 enero 2014)

el Euribor 12 (1 de enero 2012) lo sabemos

el euribor 12 (1 de enero 2013) lo tenemos que estimar , es decir calcular su forward
lo podemos hacer a partir de curva de factores de descuento de euribor 12m , según la formula:
\( F=\frac{1}{\delta}(\frac{df(1/1/2013)}{df(1/1/2014)}-1)\)
where
\( \delta \) es la fracción del año entre 1/1/2013 y 1/1/2014 según convención , por ejemplo actual/360

 

 

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CVA credit valuation adjustment – ajuste por riesgo de credito

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CVA es (Credit Valuation Adjustment) = valor de mercado del riesgo de crédito de contrapartida.

Valoracion derivados OTC con CVA en 1 click

Con el reciente deterioro de rating de crédito de los bancos el CVA ya no es negligible y representa un cargo importante sobre cado derivado OTC.

antes el mismo swap sería valorado igual para dos contrapartidas diferentes, ahora  en práctica , el mismo swap tendría precio diferente dependiendo de rating de crédito del cliente y la dirección de portafolio de derivados ya existentes con este cliente.

que es CVA?

CVA= valor de portfolio de derivados OTC tendiendo en cuenta riesgo de crédito de contrapartida – valor de portafolio libre de esto riesgo

en la forma simplificada es equivalente a exposicion to default * probabilidad de default * loss given default
para el cálculo de exposure do default (EAD) generalmente se usa monte carlo
probabilidad de default se puede estimar desde precios de CDS (credit default swaps) de mercado.
LGD esta basada en expected recovery should counterparty default (se podría obtener desde datos históricos del banco mismo o desde agencias de rating)

ejemplo

para un swap con nominal de 100 euros de 5 años  con  cupón del 1% (al mercado) ,cuyo precio libre de riesgo de crédito sería de unos 36 céntimos,  contratado con Santander el CVA sería de unos 10 céntimos [suponiendo que no tenemos otros swaps con santander con netting-agreements] .para el mismo swap con bankia CVA sería de unos 25 céntimos
[cálculos a septiembre 2012] es decir CVA casi dobla el precio final en este caso.

 

implantación

la implantación de CVA implica cambios en sistemas de valoración, y introducción de nuevas sistemas de cálculo y risk-management de CVA . y en su caso creación del desk CVA.

cva desk


para gestionar y agregar el riesgo de contrapartida más eficazmente muchos bancos han adoptado un approach de CVA-desk: una mesa que centraliza la gestión de riesgo de crédito de contrapartida que incurren otras mesas de trading del banco (equity derivatives desk, fx derivatives desk etc).CVA desk cobra un fee por la gestión de este riesgo a otras mesas del mismo banco, y la mesa correspondiente normalmente pasaría estos fees a los clientes.
al agregar el riesgo de crédito según contrapartida para todo el banco el CVA desk hace hedging mediante contratos CDS y si no hay mercado líquido para cliente se usan contratos sobre índices de crédito (iTraxx por ejemplo).

[diagrama de cva desk]

 

dificultades de implantación

CVA es un cálculo muy complejo que requiere sistemas informáticos muy potentes. esto es especialmente importante para los sistemas de Front Office que necesitan obtener CVA charge pre-trade en tiempo real (incremental CVA) . para estos cálculos normalmente se necesitaría un sistema paralelizado de muchos ordenadores – el grid.

otro aspecto que requiere potencia numérica es el cálculo de sensibilidades CVA (CVA greeks)  – esto también necesita las tecnologías grid.

otro problema que puede surgir es la integración eficiente de 3 sistemas – datos de portfolio con el cliente, datos de mercado real time (se necesitarian los datos en real time porque el mercado de derivados OTC es muy competitivo asi que en caso de overpricing del derivado a causa del ajuste por riesgo de credito el cliente lo compraria a otro banco), y datos estáticos (credit rating de cliente, netting agreements etc)

Para cálculo de probabilidades de default se necesita el mercado de CDS liquido, que solo existe para algunas contrapartidas, en caso contrario hay que usar proxies discrecionales  a nivel de industria o país, por ejemplo.

Wrong-way risk aparece cuando la exposición a la contrapartida sube con el deterioro de crédito de la misma, por ejemplo teniendo posición corta en Credit Default Swap. en este caso se necesitaría incluir la correlación entre riesgo de credito y otras variables de mercado subyacentes.

el sistema de cálculo de CVA tendria que tener en cuenta requerimientos de basilea III ya que algunos hedges no son elegibles según basilea III

cual es el impacto financiero?


durante la crisis financiera casi 70% de pérdidas atribuidas a riesgo de contrapartida eran gracias a  CVA losses y solo unos 30% eran gracias a defaults.(comité de basilea)

recientemente JP Morgan declaró pérdidas de unos 2 mil millones de $ en su división responsable de coberturas de CVA
goldman sachs ha podido tener una exposición neta negativa en AIG gracias a su CVA desk

sistemas de valoración de cva
bancos globales gastaron este año casi 900 millones de dólares en sistemas de soporte de unidades CVA

ejemplo de caclulo

ejemplo sencillo de calculo de cva de portafolio:CVA ejemplo

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OIS discounting

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OIS-discounting (de sus siglas en inglés Overnight Indexed Swap) es la metodología de valoración de derivados que considera varias curvas (y no una como antes) para el discounting y para proyección de flujos de caja futuros.Se aplica para derivados colaterizados.

CSA (Credit Support Annex) – contrato que define la gestión del colateral (credit support) entre contrapartidas del derivado. OIS discounting es lo mismo que CSA- discounting.

 

Cambios financieros

Después de la crisis los tipos Euribor ya no se pueden considerarse como tipos libres de riesgo esto se puede ilustrar con el gráfico del diferencial entre EONIA y Euribor swaps:

Cada vez más swaps están colateralizados , y generalmente el colateral se remunera al tipo overnight [fed funds para colaterales en dólares y EONIA para colaterales en euros] por lo que los flujos deberían descontarse según EONIA.

Desde el 2010 LCH.Clearnet (el mayor clearing house de interest rate swaps,hace clearing de  unos 300 billiones de dólares de nocional) pasa a valorar swaps y calcular provisiones de colaterales según OIS discounting.

 

porque negociar swaps con collateral?
Dodd Frank act en EEUU y EMIR requieren que todos los swaps elegibles esten collaterizados.en línea con esto Basilea III  crea incentivos para entidades financieras de colateralizar swaps (se requiere menos capital regulatorio para este caso)

 

que es OIS-discounting?

es la metodología de valorar productos colateralizados no con una sola curva (lo que era estandard antes de la crisis) sino con varias, usando curva de descuento OIS [ EONIA para swaps en euros o fed funds para swaps en dólares]
collateral se paga OIS rate, daily margining described in Credit Support (i.e. collateral) Annex
es decir cuando valoramos un instrumento financiero hay que tener en cuenta que hay
flujos relacionados con collateral  y flujos relacionados to settlements

ejemplo

cojemos como ejemplo un swap hipotetico de 5 años de nominal 100 eur con cupón de 5% [off market] y pata flotante de Euribor 6m (MTM de swap unos 19 eur)

según metodología estándar los flujos futuros se proyectarán y descontarian según la curva derivada de euribors y swaps

según metodología OIS-discounting los flujos se descontarian según curva EONIA swaps y proyectarán según curva euribors y swaps,  pero construida teniendo en cuenta descuentos EONIA [eso cambiaría los tipos forwards]

la diferencia en valoración entre metodología estándar y OIS-discounting sería de unos 20 céntimos

para swaps contratados al mercado diferencia en metodologias de valoracion es nula
[cálculos a septiembre 2012]

 

implantación

el pasaje a OIS discounting necesita cambios en existentes sistemas de valoración de derivados – en Front office y middle office  risk-management , y gestión de colaterales, principalmente introduciendo varias curvas para pricing de derivados, y cambios relevantes en la construcción de curvas forward.

dificultades de implementación

el CSA (credit support annex) actual según cual se rige el posting de collateral tiene muchas opcionalidades , que en efecto hacen que cada contrato sea único. como opcionalidades más importantes
diferentes thresholds (MTM de derivado a partir del cual la contrapartida tiene que postear collateral)
variedad de CSA – opcionalidad de postear el collateral en divisas diferentes.vanilla swap quanto-like product – es como una opción sobre cross currency basis spread
ausencia de mercados líquidos para algunas divisas.
OIS-discounting es estándar si el colateral está compuesto por cash.pero todavía no hay consenso de discounting rate en caso que collateral puede ser en bonos por ejemplo (algunos proponen descontar con repo-rate

cual es el impacto financiero?


varios bancos mundiales ya han publicado el impacto financiero de pasar al OIS discounting parte de sus libros de swaps colateralizados entre ellos: bnp paribas registro impacto negativo de 108 millones de euros (2011) ,crédit agricole 120 millones , mientras que algunos otros banco registraron impacto positivo Morgan stanley +176 millones de dólares (2010), del mismo rango era impacto en RBS.el signo del impacto depende de la dirección del libro de swaps de la entidad.

impacto en mtm es material para swaps maduros o off-market , forward starting swaps.como consecuencia afecta bastante a asset-swaps con una pata Euribor y otra Equity-Linked por ejemplo.

Que instrumentos afecta:

Aparte de vanilla swaps afecta  instrumentos que tengan una pata Euribor – este pata tiene que ser revalorizada.
introducir OIS-discounting significa introducir el riesgo explicito de spread EURIBOR-EONIA a las posiciones que tenían solo riesgo Euribor.
en general diferencia es proporcional al spread EONIA-euribor
aparte de bancos el impacto es aún más grande en compañías aseguradoras que tienen libros de swaps direccionales.

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