lema de ito

para derivar las ecuaciones diferenciales de evolución de precios de activos se usa lema de Ito dos dimenciones:

\( d f(X_t,Y_t) = f_{x}(X)dX+f_{y}(Y)dY+f_{xy}dXdY + \frac{1}{2} f_{xx}(X) dXdX+ \frac{1}{2} f_{yy}(Y) dY dY \)

basicamente es lo mismo que la formula de Taylor para dos variables desarollada hasta los terminos de 2ndo orden.mientras que en el calculo clasico basta con el primer orden , en el calculo estocastico hace falta 2ndo orden

cuadno aplicamos la lema de Ito vienen utiles las siguientes formulas:

\( dW_tdW_t=dt \)
\( dt_tdW_t=0 \)
\( dtdt=0 \)

ejemplo Ito

$$ d XY= XdY+YdX+dXdY $$ porque $$ (XY)_{xx}=0 $$ y $$ (XY)_{yy}=0 $$

Aplicaciones

– derivacion formula de Black-Scholes Black Scholes
-derivacion drift en Libor Market Model