derivación formula Black Scholes

formula Black Scholes

$$S_0$$ – precio de la acción a tiempo 0
$$K$$ – Strike de la opción Call
$$r$$ – tipo interés libre de riesgo
$$T$$ – vencimiento
$$\sigma $$ – volatilidad

$$ Call= S_0 N(d_1)-e^{-rT} K N(d_2) $$

$$ d_1=\frac{ln(S_0 e^{rT} /K)}{\sigma \sqrt{T}} + \frac{ \sigma \sqrt{T}}{2} $$

$$ d_1=\frac{ln(S_0 e^{rT} /K)}{\sigma \sqrt{T}} – \frac{ \sigma \sqrt{T}}{2} $$

derivación formula Black Scholes

$$Call = e^{-rT} E (S_T-K)^+ 1_{S_T>K} = e^{-rT} E S_T 1_{S_T>K} – e^{-rT} K E 1_{S_T>K} $$

dinámica Black Scholes:

$$ \frac{dS_t}{S_t}=r dt + \sigma dWt $$

la tendencia es la misma que tipo de interés libre de riesgo porque trabajamos en medida de probabilidad neutral al riesgo (todos los activos tienen la misma tendencia que bank account)

de aquí tenemos:

$$S_T=S_0 e^{ (r-\sigma^2)T+\sigma W_T} $$

así que el segundo termino

$$ E 1_{S_T>K} = P (S_T>K) = P (S_0 e^{ (r-\sigma^2)T+\sigma \sqrt{T} \epsilon}>K)$$

donde $$ \epsilon$$ es la variable estándar gaussiana

reorganizando los términos obtenemos:

$$ P (S_T>K)= P ( -\epsilon < \frac{ln(S_0 e^{rT} /K)}{\sigma \sqrt{T}} - \frac{ \sigma \sqrt{T}}{2}) $$ pero $$ - \epsilon $$ es también variable gaussiana estándar así que esta probabilidad es $$= N(d_2) $$ para calcular el primer termino $$e^{-rT} E S_T 1_{S_T>K}$$ vamos a cambiar la medida de probabilidad con la teorema de Girsanov

si pasamos de la medida de probabilidad neutral al riesgo (donde numeraire es bank account = $$N(t)= e^{rt}$$ a la medida forward , donde numeraire es el precio de la acción $$ N(t)=S_t $$
asi que $$ \frac{1}{e^{rT}} d P_{RN} = \frac{S_0}{S_T} d P_{S} $$

asi que

$$e^{-rT} E S_T 1_{S_T>K} = e^{-rT} \int S_T 1_{S_T>K} d P_{RN} = S_0 \int 1_{S_T>K} d P_{S} = S_0 P (S_T>K)$$

la ultima probabilidad esta en medida de probabilidad con numeraire $$N(t)=S_t$$ asi que la tendencia de $$ d S_t $$ va a ser diferente de $$r$$ (con cambios de medida la volatilidad queda la misma, solo cambia la tendencia)

para calcular nuevo drift de $$S_t$$ cojemos un activo financiero , por ejemplo bank account $$=e^{rt}$$ y su valor dividido por numeraire tiene que ser martingala (tendencia = 0)
asi que suponemos que tendencia de $$S_t$$ es $$\mu$$

asi que bajo la medida de probabilidad $$P_S$$ S_t tiene dinamica:

$$ \frac{dS_t}{S_t}=\mu dt + \sigma dWt $$

la variable $$Y_t=\frac{e^{rt}}{S_t}$$ tiene que tener la tendencia 0 (es activo dividido entre numeraire)

asi que aplicando lema de Ito tenemos

$$\frac{dY_t}{Y_t} = dt ( r + \sigma^2 – \mu) + … $$

de aqui $$\mu=r+\sigma^2$$
asi que en la formula de $$P(S_T>K)$$ solo tenemos que sustituir $$r$$ por $$r+\sigma^2$$ y asi obtenemos el primer termino de formula Black Scholes

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